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14_80 点と直線 / 垂直/平行な2直線

2つの直線が垂直になる条件 m1m2=-1の証明

著者名: OKボーイ
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2つの直線が垂直に交わるとき

2つの直線
 …①
 …②
があるとします。これらが垂直になるとき次の公式が成り立ちます。


これを証明してみましょう。
証明

証明の仕方は、まず2つの直線が垂直であると仮定して、その2つの直線がどのような関係にあるのかを導き出します。

①と②が垂直に交わるとき、それぞれを平行移動させた
 と も垂直に交わるということになりますね。

2直線を図に描いてみましょう。
ALT



図のように、x=1のとき、それぞれの直線上の点を
 とします。
△AOBにおいて、∠AOB=90°なので、ピタゴラスの定理が成り立ちます。

 …③



より


これを展開すると
 …④ となります。

つまり④が成り立てば③もおのずと成り立つことがわかります。
③が成り立つと、今度は△AOBにおいて∠AOB=90°ということがわかり、AOとOBが垂直に交わっている、つまり
 と も垂直に交わるということになりますね。

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・2つの直線が垂直になる条件 m1m2=-1の証明

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『教科書 数学Ⅱ』 数研出版

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