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12_80 図形と計量 / 三角比(座標/半円を用いた三角比)

三角比の公式 90°<θ<180°の場合

著者名: OKボーイ
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90°<θ<180°における三角比の公式の証明

0°<θ<90°において





であることは以前学習しましたね。ではこれらの公式が90°<θ<180°では当てはまるのかどうかを検証してみたいと思います。
まず、次のような図を用意します。
ALT


円の半径は1で点Pは第2象限にあります。
このときOA=x、PA=y、OP=1(円の半径なので)ですね。

 …①
 …②
 …③

また△OPAにおいて三平方の定理より

 …④

グラフからこれらのことがわかります。
まず①、②、④を使って
 が証明できます。

続いて
①、②、③より
 が証明できます。

そして最後に

x ^{2} +y ^{2} =1] なので


②より、
 が成り立ちます。


以上のことから、
90°<θ<180°であっても三角比の定理は成り立つことがわかりましたね。
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『教科書 数学Ⅰ』 数研出版

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