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12_80 図形と計量 / 三角比(座標/半円を用いた三角比)

よくでてくる三角比 90°<θ<180°

著者名: OKボーイ
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よく出てくる三角比

90°<θ<180°の範囲において、よく出てくる三角比を紹介しましょう。
よくでてくる値は、θ=120°、135°、150°のときです。それぞれ説明していきましょう。
θ=120°

まずはこの図をみてください。
半径2の半円において、θ=120°の場合です。
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θ=∠POA=120°ということは∠POB=60°です。
∠POB=60°、∠PBOが直角ということは △POBは辺の比が2:1:√3の直角三角形であることがわかります。
このとき、△POBについて考えます。
ここで注意しなければならないのは、OB=-1という点です。
(※現実ではありませんが、概念的なものと思ってください。)

θ=120°を考えるということは、△POBを考える(ただしOB=-1)を考えることと同意義なのです。


よってこの図において




がわかります。
θ=135°

続いてθ=135°のときを考えてみましょう。
次の図をみてください。
ALT



θ=∠POA=135°ですので、∠POB=45°です。∠POB=45°、∠PBOが直角ということは、 △POBは辺の比が1:1:√2の直角二等辺三角形ということがわかりますね。(ただしOB=-1)

θ=135°を考えるということは、先ほどと同じように、△POB(ただしOB=-1)を考えれば良いことになります。

よってこの図において




であることがわかります。
θ=150°

最後にθ=150°のときです。
これも同じように図にして考えてみます。
ALT



θ=120°、135°のときと同じように考えると
△POBは辺の比が、2:1:√3の直角三角形であることがわかります。(ただしOB=√3)

このことから




がわかります。



θ=120°、135°、150°のときの値がよく出題されますので、いま見てきたように、自分で導き出せるよう取り組んでくださいね。
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『チャート式 数学ⅠA』 数研出版
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