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12_80 図形と計量 / 三角形/多角形の面積・内接円/外接円・空間図形

角の二等分線の定理の証明

著者名: OKボーイ
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角の二等分線の定理

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図のように、△ABCにおいて角Aを線分ADが∠BAD=∠CAD=θとなるように、∠Aを2等分するとします。
このとき、 AB:AC=BD:CDとなるのですが、これを証明してみましょう。

△ABDと△ACDの面積をそれぞれS1、S2とします。
このとき
S1=1/2×AB×AD×sinθ …①
S2=1/2×AC×AD×sinθ …②

①と②より
S1:S2=1/2・AB・AD・sinθ:1/2・AC・AD・sinθ=AB:AC
となります。 …③


続いて、点AからBCに垂線を下ろし、BCとの交点をHとしましょう。
このときS1とS2は
S1=1/2×BD×AH …④
S2=1/2×CD×AH …⑤
④と⑤より
S1:S2=1/2・BD・AH:1/2・CD・AH=BD:CD
となります。 …⑥

③と⑥より
S1:S2=AB:AC=BD:CD
が証明できました。

よって △ABCにおいて∠BAD=∠CADのとき、AB:AC=BD:CDであることがわかります。

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『教科書 数学Ⅰ』 数研出版

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