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12_80 2次関数 / 2次方程式/2次不等式

2次不等式の解き方〜(x-1)(x-4)<0と(x-1)(x-4)>0~

著者名: OKボーイ
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様々な形の2次不等式

(x-1)(x-4)<0

まず(x-1)(x-4)<0の解き方を説明しましょう。

とりあえず、普通の2次方程式として考えてみる

とりあえず不等号のことは忘れて、2次方程式

(x-1)(x-4)=0

を解いてみましょう。
答えはx=1、4 になりますね。

グラフを描いてみる

続いて、2次関数f(x)=(x-1)(x-4)のグラフを描いてみましょう。
f(x)=(x-1)(x-4)を変形します。



から、グラフは下記のようになります。
ALT


この2次関数のグラフは、x=1、4のときにx軸と交わるグラフとなります。
ここで1つ覚えましょう。 (x-1)(x-4)<0ということは、y<0であるxの範囲を求めよ同じ意味。

y<0となるのは、"1<x<4"の範囲です(赤枠で囲まれたところ)
ALT


これが一連の解き方なのですが、いちいちグラフを描いていると時間がかかってしょうがありません。ですので

(x-α)(x-β)<0のときはα<x<β (α<β)


と覚えましょう。
今回の問題に照らし合わせると
(x-1)(x-4)<0は1<x<4となりますね。

(x-1)(x-4)>0

次は、先程と不等号の向きが逆の 
(x-1)(x-4)>0 
の場合を考えてみましょう。

(x-1)(x-4)>0ということは、上のグラフにおいて y>0になるxの範囲ということになります。

グラフからもわかるとおり、
x<1、4<x のときにy>0が成り立ちますね。

これも先ほどと同じように、毎回こうやってグラフから求めていたのでは時間がかかってしまいます。ですので

(x-α)(x-β)>0のときはx<α、x<β (α<β)


と覚えましょう。先ほどと不等号の向きが逆です。

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・2次不等式の解き方〜(x-1)(x-4)<0と(x-1)(x-4)>0~

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『教科書 数学Ⅰ』 数研出版

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