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12_80 2次関数 / 2次関数の最大・最小値

2次関数の最大値と最小値「軸を場合分けして考える問題」

著者名: OKボーイ
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問題

次のような2次関数の最大最小値を求めよという問題があったら、みなさんはどのように解きますか?

 …① (-3≦x≦3 ただし a≠0)
解き方

とりあえず、①のグラフを描いてみましょう。

ですので、①は(2a、-3a)を頂点とする下に凸のグラフになります。
①の関数は、次の4パターンにわけて考えなければなりません。
次のグラフをみながら考えてみてください。
ALT


1:軸2aが-3よりも左側のとき

軸2aが-3よりも左側のとき、つまり2a<-3

のときです。

このとき、①の関数は、グラフ1のような位置になります。
最大値はx=3のとき、
最小値はx=-3のとき、
となります。
2、3:軸2aが-3≦x≦3の間にあるとき

続いて軸2aが-3≦x≦3、設問よりなので
-3≦2a<0、0<2a≦3 すなわち
 のときです。
この2つのパターンで、最大の値が変わってきます。

 のとき、
グラフ2よりx=-3のときに最大値 
x=2aのときに、最小値

のとき
グラフ3よりx=3のときに最大値 
x=2aのときに、最小値

となります。
4:軸2aが3よりも右側のとき

軸2aが3よりも右側のとき、つまり2a≦3 すなわち
 のときです。

このときは、グラフ4より
x=-3のときに最大値 
x=3のときに最小値 

となります。
頂点の位置が移動することによって、最大最小値が変わってくるというところがポイントですね。

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『教科書 数学Ⅰ』 数研出版

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