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12_80 2次関数 / 2次関数とグラフ(定義域/値域)

2次関数の値域の求め方~下に凸のグラフ~

著者名: OKボーイ
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2次関数の値域

1次関数と同じように、2次関数でも、「値域を求めなさい」という問題がでてきます。
値域

値域についておさらいをしてみましょう。
値域とは、y=f(x)において、 xがとる範囲の中でのyがとる値の範囲のことでした。
平たくいうと、y=f(x)において、普通xは範囲を持っています。その範囲を持ったxをy=f(x)に代入すると、当然yにも派にが出てきますよね。そのyの範囲が値域です。またこのときのxの範囲のことを定義域と言いますので覚えておきましょう。

2次関数における値域の定義もこれと同じです。
グラフでみる

それでは実際に2次関数のグラフで説明しましょう。
ここでは下に凸のグラフを使って説明します。

という2次関数があったとします。(xの定義域は -1≦x≦2 です。)
このグラフは、以下のようになりますね。
ALT

(定義域に対応している範囲を実線で描いています)

このグラフから一目瞭然のように、「0≦y≦8」が求める範囲となります。

ここで注意しなければならない点があります。
1次関数の場合、yの最小値というものは、右上がりの直線であればxが最小値のときにyも最小値を、右下がりの直線であればxが最大値のときにyも最大値を示していました。
しかし2次関数においてはそうはいきません。

グラフからもわかる通り、 下に凸のグラフの場合その頂点のyの値がyの最小値となります。

xの最小値x=-1を代入しても、yは最小値を取るとは限りません。
この点が1次関数とは決定的に違う点ですので注意しましょう。

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・2次関数の値域の求め方~下に凸のグラフ~

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『チャート式 数学ⅠA』 数研出版

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