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14_80 高次方程式 / 複素数

複素数の四則計算

著者名: OKボーイ
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はじめに

ここでは、複素数の四則計算について述べたいと思います。
四則計算とは加法(足し算)、減法(引き算)、乗法(掛け算)、除法(割り算)のことですね。
加法、減法、乗法は「i」を文字のように考えて計算する。


1:加法


という式があったとしましょう。
ポイントのように、iを文字と考えて計算をします。すると
 


となりますね。実際に数字を当てはめて考えてみましょう。


今までやってきた計算となんら変わりませんね。

2:減法

続いて減法です。これも加法と同じようにiを文字と考えて解きます。


となります。数字を当てはめると以下のようになりますね。



3:乗法

続いて乗法です。これもiを文字と考えて解いていきますが、1つだけ加法、乗法と違う点がでてきます。それが です。



このように式を展開していくと、がでてきます。
虚数の決まりごとから、ですので、これを式に代入してまとめていきます。すると、


となります。
実際に数字をいれて計算してみましょう。
という式を計算します。



にだけ注意していれば、問題なく解けるかと思います。

4:除法

続いて除法(割り算)です。除法は、今までの加法、減法、乗法とは少し違います。解くためのポイントはこちらです。

複素数の割り算は、分母に分母の共役な複素数をかけて計算する

このような問題があったとしましょう。
このとき、分母に、分母の共役な複素数「a-bi」をかけて計算を行います。
すると



これを解いていくと、
となります。

ではこれも実際に数字を入れて計算してみましょう。
を解けという問題があったとします。

分母に、分母の共役な複素数「3-2i」をかけます。すると、

となり、これを展開していくと、


となります。ここで、 ですので、これを代入して


となります。

いかがでしたでしょうか。もう1度ポイントをおさらいしてみましょう。
加法、減法、乗法はiを文字のように考えて計算する

複素数の割り算は、分母に分母の共役な複素数をかけて計算する

この2つが頭に入っておけば、複素数の計算は怖いものなしですね。
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『教科書 数学Ⅱ』 数研出版

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