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12_80 数と式/集合 / 因数分解

因数分解の公式"a²-b²=(a+b)(a-b)"と解き方

著者名: OKボーイ
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前回までのおさらい

前回は
a²+2ab+b²=(a+b)²

a²-2ab+b²=(a-b)²

だということをお伝えしましたね。
因数分解の公式"a²+2ab+b²=(a+b)²"

今回は次の公式について学習しましょう。
a²-b²=(a+b)(a-b)


和と差の積の公式の逆

a²-b²=(a+b)(a-b)


これは和と差の積
(a+b)(a-b)=a²-b²

の逆バージョンになります。

では早速問題を解きながらみてみましょう。
次の式を因数分解しなさい。
(1)x²-4y²


この式は、次のように変形することができます。
x²-4y²=(x)²-(2y)²

ここで、今みてきた公式を利用します。
a²-b²=(a+b)(a-b)
なので、

x²-4y²=(x)²-(2y)²=(x+2y)(x-2y)
となります。

ではこれはどうでしょう。
次の式を因数分解しなさい。
(2)(a-b)²-c²


ひとまず展開してみると
(a-b)²-c²=a²-2ab+b²-c²

うーん。うまく因数分解できそうにはないですね…

このようなときには、解き方のコツがあります。
a-b=Aと、a-bを1つの式として考える


つまり
(a-b)²-c²=A²-c²
として考えるということです。するとどうでしょうか。

a²-b²=(a+b)(a-b)
の公式が使えますね!

A²-c²=(A+)(A-c)
ここでAをa-bになおします。
(A+)(A-c)=(a-b+c)(a-b-c)
これが正解になります。

あっているかどうかは、求めた式を展開をして確認できます。
(x+2y)(x-2y)
=x²-4y²

(a-b+c)(a-b-c)
=a²-ab-ac-ab+b²+bc+ac-bc-c²
=a²-2ab+b²-c²
=(a-b)²-c²

元の式と一致しましたね!!

A²-B²とみたら、すぐに因数分解だ!とひらめくようにしましょう。


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・因数分解の公式"a²-b²=(a+b)(a-b)"と解き方

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『チャート式 数学ⅠA』 数研出版
『教科書 数学Ⅰ』 数研出版

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