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12_80 数と式/集合 / 2次方程式/解の公式

2次方程式「解の公式の証明」

著者名: OKボーイ
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はじめに

2次方程式には、「解の公式」というものが存在します。
わかりやすく置き換えると、この公式さえ知っておけば2次方程式は簡単に解くことができるというとても便利なツールです。
解の公式



このような2次方程式があったときに、xの解は
…①

で表すことができます。
聞いたことがある方もいらっしゃるでしょうし、初めてで「?」と言う方もいらっしゃるかもしれません。
ここでは、なぜ2次方程式の解が①のように表すことができるのかについて説明してみたいと思います。

実践

2次方程式においてxの値を求める方法、それは式を解いてみることです。ですので
 を実際に解いてみましょう。
 を変形させていきます。

まずcを左辺に移動させ、両辺をaで割ります。


左辺を平方の形にできるように(因数分解の反対)両辺に  を加えます。すると



となり、左辺は


となります。右辺は
…②

となります。



②において
…③のとき


すなわち、
 が解となります。

最初の公式と一致しましたね。

補足

ここでちょっと③について解説をしたいと思います。本来なら
 のとき、とするべきなのですが
 はつねに正の整数です。
ですので、右辺が正なのか負なのかを判別するためには、 を見ればよいということになります。


ちなみに、 だった場合はどうなるのでしょう?


②の式を見てください。左辺は2乗されていますね。
ということは、左辺が2乗して負の数である数字でなければいけないということになります。2乗して負の数になるという数字は存在しますが、現段階ではその概念は勉強しなくていいことになっていますので(数ⅡBで学びます)、その問題が出てきたときに、改めて考えましょう。
まずは①の公式をしっかり覚えていきましょう。
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『教科書 数学Ⅰ』 数研出版

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