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15_80 数列 / 数学的帰納法

数学的帰納法

著者名: AliceGT3
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数学的帰納法とは

この方法は数学Bの中の「数列」のジャンルの中で階差数列に並ぶ(または超える)山場と言ってもいいぐらい難しいカテゴリーです。
証明

これは、主に証明の問題です。「証明」という恐らく最も解きにくい且つ嫌な人も多いと思いますが、慣れてしまうと面白いように式、文章が書けるのでどんどん解いたほうが良いと思います。
証明以外

証明以外の問題もあります。漸化式です。
ざっくり説明すると、初項が与えられ、次の項の関係式が渡されて、一般項を求める問題です。詳しい求め方はこの次の記事で説明します。


例題

証明問題

まず証明の問題から
証明するポイントは
①n=1と代入して、左辺=右辺になる
②n=kと代入して左辺=右辺と仮定して左辺にn=k+1を代入
という感じです。
言葉で言ってもわかりにくいと思いますので教科書の例題を使って解説します。

例題:nを自然数とするとき、数学的帰納法を用いて、次の等式を証明せよ。

東京書籍「数学B」第1章 数列 第2節漸化式と数学的帰納法 P37例題4より


まず、n=1を代入してみましょう。
左辺=1
右辺=
よって左辺=右辺となります。
次にn=kにしてこの式が合っていることと仮定します。
そうすると

となります。
次にn=k+1を左辺に代入して計算を行い、右辺にn=k+1を代入したときの式と一致させます。


となって、最初の式はのときも成り立ちます。
これで自然数nについて成り立つと証明できました。

次の記事はこの帰納法を使った漸化式の問題を解説します。
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東京書籍「数学B」
数列

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