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14_80 積分 / 積分:面積

積分 曲線とx軸の間の面積を求める問題

著者名: ふぇるまー
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曲線とx軸の間の面積

積分を使って、図形の面積を求める方法をみていきましょう。
教科書の例題を見ただけで「げっ!」と思う人も多いでしょうが、実はこの面積の問題は、解き方が1つしかないので、その1通りを覚えてしまえば簡単に解くことができます。ですので、面積を求める問題が出題されたら、「ラッキー」と思っておきましょう。

<問題>
y=x²+1とx軸、および2つの直線x=2、x=−1に囲まれた図形の面積Sを求めなさい。


ステップ1:グラフを書く

まずはグラフを書いて、どこの面積を求めればよいのかを目に見えるようにします。
必ずグラフを書くようにしましょう。書かないと解けない確率が非常にあがります。

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グラフがかけたら、どこの面積を求めるのか、色付してみます。

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ステップ2:"上の曲線"ー"下の曲線"にインテグラル

言葉だけみると何かの呪文のようですが、説明しましょう。

面積を求める箇所で、y=x²+1のグラフはx軸(y=0)よりも上にありますよね。このとき、y=x²+1のグラフを上にあるグラフ、x軸(y=0)を下にあるグラフと考えて、「上のグラフの式ー下のグラフ式」をしたものに、インテグラルをつけます。



そしてインテグラルの横に付く数字は、問題で与えられたx=2、x=−1です。



これを解くと、面積を求めることができます。













ポイントは、面積を求める箇所において、どちらのグラフが上にあるのかです。そこに注目しながら、もう1問みてみましょう。


<問題>
y=−x²とx軸、および2つの直線x=−2、x=1に囲まれた図形の面積Sを求めなさい。


ステップ1

同じように、まずはグラフを書くところから始めましょう。

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グラフが書けたら、どこの面積を求めるのか、色付してみます。

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ステップ2

色付けした部分では、x軸とy=−x²のグラフとでは、どちらが上にあるでしょうか?


x軸ですよね。つまり今回は、



すなわち



を計算することで、面積を求めることができます。

答えは"S=3"です。

ちなみにこの問題では面積を求めているので、仮に答えがマイナスになった場合は、計算式が間違っているか、計算ミスをしている可能性が高いと気付けるようにしておきたいですね。

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2013 数学Ⅱ 数研出版
2013 数学Ⅱ 東京書籍

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