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14_80 積分 / 定積分

定積分で表された関数の問題

著者名: ふぇるまー
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定積分で表された関数の問題

ここでは、次のような問題についてみていきましょう。


を満たす関数f(x)と、定数aの値を求めてみましょう


難しく考えなくても、考えずに関数f(x)と定数aの値をダイレクトに求めるテクニックがあるので紹介しましょう。

f(x)を求める方法

関数f(x)を求めるためには、両辺をxで微分する。

これだけです。早速やってみましょう。



まずは左辺をxで微分します。



を微分すると、



これは、定積分と微分法の公式により



となります。理由がわからない人は、定積分と微分法の公式の証明を詳しく読んでみてください。

一方で右辺"x²−2x+1"を微分すると、2x−2となります。
以上のことから、

f(x)=2x−2

が求まります。

定数aの値を求める

定数aの値を求めるためには、x=aを与えられた式に代入する。

早速やってみましょう。
x=aを与えられた式に代入します。



このとき左辺は、定積分の公式より



となります。このことから、

a²−2a+1=0
(aー1)²=0
a=1

が求まります。

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2013 数学Ⅱ 東京書籍
2013 数学Ⅱ 数研出版

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