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14_80 積分 / 定積分

定積分と微分法の公式の証明

著者名: ふぇるまー
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定積分と微分法

ここでは、次の公式を証明していきます。



要するに、



をxで微分するとf(x)になるという公式の証明です。

証明

f(t)を積分した式の1つをF(t)とします。 つまり、



という関係です。f(t)をaからxの範囲で積分します。



この関係式を、xで微分してみましょう。









さてここでF(a)について考えてみます。aは定数であることから、F(a)もまた定数となります。例えば3を微分すると(3)'=0となるように、定数を微分したものは0となることから、"F'(a)=0"が成り立つことがわかるはずです。このことから、

F'(x)−F'(a)=f(x)−0=f(x)

以上より、



が成り立つことがわかりました。




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・定積分と微分法の公式の証明

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2013 数学Ⅱ 東京書籍
2013 数学Ⅱ 数研出版

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