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14_80 積分 / 定積分

定積分の公式の証明(3)

著者名: ふぇるまー
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定積分の公式の証明

ここでは、定積分の公式の1つである



の証明を行います。

証明

f(x)を積分した式の1つをF(x)、g(x)を積分した式の1つをG(x)とします。 このときf(x)とF(x)、g(x)とG(x)の関係は、

F'(x)=f(x)
G'(x)=g(x)


です。このとき、"{F(x)−G(x)}"を微分すると、

"{F(x)−G(x)}'=F'(x)−G'(x)"

となることは、導関数の公式で学習した通りです。これをさらに計算すると、

"{F(x)−G(x)}'=F'(x)−G'(x)=f(x)−g(x)"


"{f(x)−g(x)}"をaからbの範囲で積分したと考えると



 ー①

一方で、f(x)をaからbの範囲で積分すると、
 ー②

また、g(x)をaからbの範囲で積分すると、
 ー③

②−③より

 ー④

①と④より



が成り立つことがわかります。
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・定積分の公式の証明(3)

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2013 数学Ⅱ 東京書籍
2013 数学Ⅱ 数研出版

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