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14_80 積分 / 定積分

定積分の公式の証明(1)

著者名: ふぇるまー
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定積分の公式の証明

ここでは、定積分の公式の1つである



の証明を行います。

証明

f(x)を積分したものの1つをF(x)とします。
このときf(x)とF(x)は、

F'(x)=f(x)

という関係です。
このときF(x)を実数kでk倍した、"kF(x)"を微分すると、

kF'(x)=kf(x)

となるのは、導関数の公式で学習した通りです。この関係をaからbの範囲において積分の式に表すと、



となります。この式をさらに解いていくと

 ー①

一方で、f(x)とF(x)の関係をaからbの範囲において積分の式に表すと、

 ー②


①と②式から、






つまり



が成り立つことがわかります。
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・定積分の公式の証明(1)

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2013 数学Ⅱ 数研出版
2013 数学Ⅱ 東京書籍

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