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14_80 積分 / 不定積分

不定積分 与えられた条件から関数F(x)を求める問題の解き方

著者名: ふぇるまー
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与えられた条件から関数の式を求める

不定積分の単元の問題です。

与えられた条件から、その条件を満たす関数の式を求める問題について解説していきます。

<問題>
次の条件を満たす関数F(x)を求めなさい。
F'(x)=3x²−2
F(2)=0


これまで、「不定積分を求めなさい」と言われて、

・∮2xdx=x²+C
・∮(2t+1)dt=t²+t+C

と求めてきたかと思いますが、"+C"の値を正確に求めることができませんでした。この問題は、具体的にxやtに数値を代入して、きちんと"+C"の値まで求めましょうねという問題です。

解き方は2ステップです。

ステップ1:不定積分を求める

まずはこれまで通りのやり方で、F(x)を求めます。
"F'(x)=3x²−2"ですから、

"F(x)=x³−2x+C"

が求まりますね。
+Cを忘れたらいけませんよ。

ステップ2:F(2)=0を代入

与えられた条件"F(2)=0"から、"x=2を代入すると、"x³−2x+C"は0になる"ことを察します。つまり、

F(2)=2³−2・2+C=0
8−4+C=0
C=−4

以上から求めるF(X)の値は、

F(x)=x³−2x−4

と求まりました。
これが正しいか確認するためには、この式が、問題で与えられた条件をきちんとクリアしているかをチェックすればOKです。具体的には、

①F(x)を微分したときに、F'(x)=3x²−2となるか

"F(x)=x³−2x−4"より、

F'(x)=3x²−2

②x=2を代入してF(2)=0となるか

F(2)=2³−2・2−4=8−4−4=0

求めた式は正しいといえますね。

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2013 数学Ⅱ 東京書籍
2013 数学Ⅱ 数研出版

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