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14_80 積分 / 不定積分

不定積分の公式の証明"∮{f(x)−g(x)}dx=∮f(x)dx−∮g(x)dx"

著者名: ふぇるまー
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不定積分の公式の証明

ここでは、不定積分の公式の1つである

∮{f(x)−g(x)}dx=∮f(x)dx−∮g(x)dx


の証明を行います。

証明

微分するとf(x)となる式の1つをF(x)、微分するとg(x)となる式の1つをG(x)とします。 このときf(x)とF(x)、g(x)とG(x)の関係は、

F'(x)=f(x)
G'(x)=g(x)

であることを頭にいれておきましょう。

ここで思い出しましょう。
導関数の公式で、次のようなものがありました。

{F(x)−G(x)}'=F'(x)−G'(x)


これをさらに計算すると、

{F(x)−G(x)}'=F'(x)−G'(x)=f(x)−g(x)

"{F(x)−G(x)}"を微分すると"f(x)−g(x)"になるということは、

∮{f(x)−g(x)}dx={F(x)−G(x)} ー①

となります。


一方で、F(x)を微分するとf(x)、G(x)を微分するとg(x)であることから

∮f(x)dx=F(x) ー②
∮g(x)dx=G(x) ー③

であることがわかります。
②、③を①に代入すると、

∮{f(x)−g(x)}dx=∮f(x)dx−∮g(x)dx

が成り立つことがわかります。
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・不定積分の公式の証明"∮{f(x)−g(x)}dx=∮f(x)dx−∮g(x)dx"

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2013 数学Ⅱ 東京書籍
2013 数学Ⅱ 数研出版

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