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14_80 積分 / 不定積分

不定積分"∮kf(x)dx=k∮f(x)dx"公式の証明

著者名: ふぇるまー
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不定積分の公式の証明

ここでは、不定積分の公式の1つである

"∮kf(x)dx"=k∮f(x)dx"


の証明を行います。

証明

微分するとf(x)となる式の1つをF(x)とします。
このときf(x)とF(x)の関係は、

F'(x)=f(x)

であることを頭にいれておきましょう。「不定積分の+Cはどこにいったの?」と思う人は、"F(x)=○○+C"のように、"+C"はすでにF(x)の中に含まれているとイメージするとわかりやすかと思います。ちなみにこのとき、F(x)をf(x)の不定積分である、または原始関数であるといいます。


ここで思い出しましょう。
導関数の公式で、次のようなものがありました。

kを実数とするとき、{kf(x)}'=kf'(x)


これを、F(x)を用いて置き換えると

{kF(x)}'=kF'(x)

最初にF'(x)=f(x)と決めたので、このことから

{kF(x)}'=kF'(x)=kf(x)

この式は、「kF(x)を微分したらkf(x)である」を意味します。
これを異なった式で書くと

kF(x)=∮kf(x)dx ー①

となりますね。
一方で"F'(x)=f(x)"なので、これも異なった式で書くと

F(x)=∮f(x)dx

この式の両辺を、実数kを使ってk倍します。

kF(x)=k∮f(x)dx ー②

①と②より、

∮kf(x)dx=k∮f(x)dx

が成り立つことがわかります。


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・不定積分"∮kf(x)dx=k∮f(x)dx"公式の証明

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2013 数学Ⅱ 東京書籍
2013 数学Ⅱ 数研出版

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