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14_80 微分 / 微分:関数のグラフと方程式・不等式

微分を用いて3次不等式の証明をする問題

著者名: ふぇるまー
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3次不等式の証明

ここでは、次のような3次不等式を証明する問題をみていきます。

x≧0のとき、次の不等式が成り立つことを証明しなさい。
x³+2≧3x


「またややこしい問題が」と思われるかもしれませんが、次のことを覚えておきましょう。

不等式の証明は、グラフがかければ90%はできたも同然!


どういうことかみていきましょう。

解説

"x³+2≧3x"を変形すると、"x³−3x+2≧0"となります。つまりこの問題は、「x≧0の範囲で"x³−3x+2≧0"が常に成り立つか証明しなさい」と同じ意味であるということです。

この証明をするには、"f(x)=x³−3x+2"のグラフがx≧0の範囲で常に"f(x)≧0"となるかを確認すればOKということになります。

グラフを書く

では早速、"f(x)=x³−3x+2"のグラフを書いてみましょう。

f'(x)=3x²−3=3(x²−1)=3(x+1)(x−1)

なので、増減表は次のようになります。

ALT


グラフを作成し、x≧0の範囲を赤線でひいたのが次の図になります。

ALT


グラフから、x≧0における最小値は"0"(x=1のとき)なので、このグラフはx≧0ではつねに、"f(x)≧0"であることがわかります。

このことから、x≧0のとき"x³−3x+2≧0"つまり"x³+2≧3x"が成り立つことが証明されました。


いかがでしたか。グラフが書ければ一発で求めることができますね。


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2013 数学Ⅱ 数研出版
2013 数学Ⅱ 東京書籍

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