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14_80 微分 / 微分:関数のグラフと方程式・不等式

文字があるときの3次方程式の実数解の個数の求め方

著者名: ふぇるまー
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3次方程式の異なる実数解の個数

aは定数とする。
"x³−3x²−a=0"の異なる実数解の個数を調べなさい。


3次方程式の異なる実数解の数を求める問題をレベルアップした問題ですが、試験には圧倒的にこちらが出るので、おさえておかなければならない問題です。

「方程式に文字が入っているのにどうやって実数解の個数を調べるの?」と思うかもしれませんが、このタイプの問題は解き方が決まっているので、その解き方にそっていけば、ばっちり解けるようになるので安心してください。

解法

ステップ1:文字を切り離す

与えられた式は"x³−3x²−a=0"なので、左辺から文字だけ、右辺に移行します。

"x³−3x²=a"

ステップ2:グラフを書く

次に、とりあえず右辺の"a"のことは忘れて、"f(x)=x³−3x²"としてグラフを書きます。ここ、超重要です。

f'(x)=3x²−6x=3x(x−2)

より増減表は次のようになります。

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増減表より、グラフは

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ステップ3:文字について考える

"x³−3x²=a"の"x³−3x²"の部分のグラフを作成したので、次は右辺の"a"について考えていきます。

"y=a"として、作成したグラフにかぶせていく

※ここが今回のテキストで一番重要なポイントです。

どうするかというと、例えば"y=−1"のグラフを、作成したグラフにかぶせてみましょう。

ALT


このとき"f(x)=x³−3x²"のグラフと"y=−1"のグラフは3つの点で交わっています。実はこの交点の数こそが、求める実数解の個数そのものなのです。

つまり、「y=−1のとき、"x³−3x²−a=0"の異なる実数解の個数は3個」となります。では"y=1"のときはどうでしょうか。

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このとき交点は1つなので、"x³−3x²−a=0"の異なる実数解の個数は1個です。このようにして考えていくと、次のことがわかります。わかりやすいように、交点の数が変化する点を赤線で引いてあります。

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○y>0またはy<−4のとき、すなわちa>0またはa<−4のとき、交点の数は1個

○y=0またはy=−4のとき、すなわちa=0またはa=−4のとき、交点の数は2個

○−4<y<0のとき、すなわち−4<a<0のとき、交点の数は3個


文字を含む3次方程式の実数解が理解できたら、今度は文字を含む4次方程式の実数解の個数の求める問題にチャレンジしてみましょう。
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・文字があるときの3次方程式の実数解の個数の求め方

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2013 数学Ⅱ 東京書籍
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