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14_80 微分 / 微分:関数のグラフと方程式・不等式

3次方程式の異なる実数解の数を求める問題

著者名: ふぇるまー
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3次方程式の異なる実数解

関数の増減表やグラフを使って、方程式の実数解の個数を調べることができます。

例えば、数学1でやった2次方程式

x²−4x+3=0

の実数解の個数を求めてみます。
判別式を用いて、

D=(−4)²−4・3=16−12=4>0

なのでこの方程式の実数解は2個ともできますし、次のように"f(x)=x²−4x+3"のグラフを書いて

ALT


グラフとx軸の交点が2つなので、方程式"x²−4x+3=0"の実数解は2つとすることもできましたね。

ここで注目したいのは、グラフを書いてx軸との交点の数を調べる方法です。3次方程式の実数解の個数を調べるためには、与えられた方程式を"f(x)=○○○"としてグラフを書き、x軸との交点の数をチェックします。

問題

次の方程式の、異なる実数解の数を調べなさい。
"x³−3x²+3=0"


ステップ1:グラフを書く

まずは"f(x)=x³−3x²+3"としてグラフを書いていきましょう。

f'(x)=3x²−6x=3x(x−2)

より、増減表は次のようになります。

ALT


これよりグラフは

ALT


以上から"f(x)=x³−3x²+3"のグラフは、x軸と異なる3つの点で交わることがわかりました。このことから、3次方程式"x³−3x²+3=0"の異なる実数解の数は3つといえます。

3次方程式の実数解の個数が調べられるようになったら、今度は4次方程式の異なる実数解の数を求める問題にチャレンジしてみましょう。

また、3次関数のグラフの書き方がわからない場合は、
・増減表の書き方
・増減表を使った3次関数のグラフの書き方
をみて復習しておきましょう。
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・3次方程式の異なる実数解の数を求める問題

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2013 数学Ⅱ 東京書籍
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