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14_80 微分 / 微分:最大値・最小値

3次関数の最大値と最小値の求め方(極大値と極小値の違い)

著者名: ふぇるまー
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3次関数の最大値と最小値

3次関数"f(x)=x³−3x²+4"(−1≦x≦1)の最大値と最小値を求めなさい


ここでは、関数の極大値と極小値ではなく、最大値最小値についてみていきます。極値と最大最小値は、まぎらわしく間違いやすいところなので、しっかりとその違いをおさえるようにしましょう。

スッテプ1:グラフを書く

「関数f(x)の最大値と最小値を求めなさい」と問われたら、極値を求めるのと同じようにグラフを書くようにしましょう。グラフが書けたらこの問題の90%は解けたも同然です。

"f(x)=x³−3x²+4"のグラフは次のようになります。
書き方については、増減表を使った3次関数のグラフの書き方で全く同じ数値を使って解説していますので、そちらを参照してください。

ALT


ここで1点気をつけなければならない点があります。xに範囲が与えられていますね。この問題では、"−1≦x≦1"です。グラフを、"−1≦x≦1"の範囲で書き直してみましょう。

ALT


極大値、極小値とは、f(x)の増減が変化するポイントのことでしたね。一方で最大値、最小値とは、与えられたx軸の範囲の中で、f(x)がとる最大の値、または最小の値のことです。つまりこの問題での最大値と最小値は、グラフより

最大値4(x=0のとき)
最小値0(x=−1のとき)


以上のことからわかるように、極大値と最大値、極小値と最小値は、問題によって一致することもあれば一致しないこともあります。

極大値、極小値とは、f(x)の増減が変化するポイント

最大値、最小値とは、与えられたxの範囲の中でf(x)がとる最大の値、または最小の値


この2つの違いを、しっかりとおさえるようにしましょう。
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2013 数学Ⅱ 数研出版
2013 数学Ⅱ 東京書籍

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