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14_80 微分 / 微分:関数の増大と極大・極小

極大値と極小値から3次関数の方程式を求める問題の解説

著者名: ふぇるまー
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極値から関数の方程式求める


3次関数"f(x)=x³−3x²+4"の極値を求めなさい


これまで、このような形式の問題が出題されていました。
方程式から極値を求める問題」です。

このテキストでは、

3次関数"f(x)=x³−ax²+bx"が、x=1のときに極大値4、x=3のときに極小値0をとるような、aとbの値を求めなさい


という出題形式を見ていきます。
極値から方程式を求める問題」です。

極値から関数の方程式を求める問題は、解き方が決まっているので、パターンを覚えてしまいましょう。

<問題>
3次関数"f(x)=x³−ax²+bx"が、x=1のときに極大値4、x=3のときに極小値0をとるような、aとbの値を求めなさい


ステップ1:f'(x)を求める

まず、与えられた関数f(x)=x³−ax²+bx"をもとに、f'(x)を求めます。

f'(x)=3x²−2ax+b

ステップ2:xに代入

このステップ2が一番大切なポイントです。
x=1のときに極大値4、x=3のときに極小値0をとることから、

・f'(1)=0
・f'(3)=0

という式がたちます。ここがわからない人は、暗記でもかまいません。理解したいときは、「方程式から極値を求める問題」をよく読み込んでみましょう。

ステップ3:方程式を解く


f'(1)=0より、
3−2a+b=0
2a−b=3 ー①

f'(3)=0より
27−6a+b=0
6a−b=27 ー②


①−②より

−4a=−24
a=6

これを①に代入して、

12−b=3
b=9

以上から、a=6、b=9がもとまりました。

これが正しいか確認するには、a=6、b=9を代入した式、
"f(x)=x³−6x²+9x"の増減表とグラフを書いてみましょう。
参考までに、増減表とグラフを記しておきます。

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2013 数学Ⅱ 数研出版
2013 数学Ⅱ 東京書籍

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