新規登録 ログイン

14_80 微分 / 微分:関数の増大と極大・極小

増減表を使った4次関数のグラフの書き方・極大値極小値の求め方

著者名: ふぇるまー
Text_level_2
マイリストに追加
増減表を使った4次関数のグラフの書き方

増減表を用いて、4次関数"f(x)=x⁴−2x²"のグラフを書いてみましょう。
4次関数だろうが5次関数だろうが、3次関数のグラフを書くのと同じ方法で、グラフを描くことができます。

ステップ1

まずは増減表を作っていきます。

f'(x)=4x³−4x=4x(x²−1)=4x(x+1)(x−1)

"f'(x)=4x(x+1)(x−1)"のグラフを書くと次のようになります。
ALT


このようにグラフを書いて、f'(x)の値が変化するポイントを求めてもOKです。しかしf'(x)のグラフをかくのにえらい時間がかかりそうですよね。このようなときは、「"f'(x)=0"となるxの値」を求めます。実はこの式を満たすxの値が、グラフの増減が変化するポイントなのです。


"f'(x)=0"となるxの値は、"x=0、1、−1"なので、この3つの値のときに、グラフの増減が変化することがわかります。
グラフと見比べてみましょう。計算で求めた"x=0、1、−1"でグラフの正負が切り替わっていることがわかりますよね。


ALT


先ほど、グラフを書くのが面倒くさいので省略と述べましたが、グラフを書くと増減表を作成しやすいというメリットがあります。逆にグラフを書かなければ、グラフの作成にさく時間を省くことができる一方、増減表を書くときに頭を使わなければなりません。

ALT

"f'(x)=4x(x+1)(x−1)"のグラフより、

・x≦−1の範囲でf'(x)はマイナス
・−1≦x≦0の範囲でf'(x)はプラス
・0≦x≦1の範囲でf'(x)はマイナス
・1≦xの範囲でf'(x)はプラス

同様にして、f(x)の値が増加するか減少するかも記入していきます。
ALT


ステップ2

増減表ができたら、座標軸に関数"f(x)"の増減が変化する境目の点を記入します。言葉で書くと難しく感じますが、要するに、増減表に記されている"(−1,−1)、(0,0)、(1,−1)"のことです。

ALT


ステップ3

変化の境目がわかったら、"x≦−1"、"−1≦x≦0"、"0≦x≦1"、"1≦x"の4つの範囲でf(x)の値が増えているのか、それとも減っているのかを考えましょう。

まず"x≦−1"。
この範囲では、増減表よりf(x)の値は減少していることがわかります。
よって次のようにグラフをかきます。
ALT


次に"−1≦x≦0"。
この範囲では、増減表より、f(x)の値は増加していることがわかります。
ALT


次に"0≦x≦1"。
この範囲では、増減表よりf(x)の値は減少していることがわかります。
ALT


最後に"1≦x"。
この範囲では、増減表よりf(x)の値は増加していることがわかります。
ALT


これが"f(x)=x⁴−2x²"のグラフです。

グラフより、
・x=0のときに極大値0
・x=±1のときに極小値−1

となります。


増減表のxの範囲を見て、xがどういう範囲であればf(x)の値が増えるのか、また減るのか、を把握することが大切

Tunagari_title
・増減表を使った4次関数のグラフの書き方・極大値極小値の求め方

Related_title
もっと見る 


Keyword_title

Reference_title
2013 数学Ⅱ 東京書籍
2013 数学Ⅱ 数研出版

この科目でよく読まれている関連書籍

このテキストを評価してください。

※テキストの内容に関しては、ご自身の責任のもとご判断頂きますようお願い致します。

 

テキストの詳細
 閲覧数 50,518 pt 
 役に立った数 29 pt 
 う〜ん数 6 pt 
 マイリスト数 0 pt 

知りたいことを検索!