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14_80 微分 / 微分:関数の増大と極大・極小

極大値・極小値のない3次関数のグラフ

著者名: ふぇるまー
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極値のない3次関数のグラフ

ここでは、3次関数"f(x)=x³+3"の極値を求めていきます。
極値とは、極大値と極小値の総称のことでしたね。

ステップ1:増減表の作成

まずは増減表を作成しましょう。増減表の具体的な書き方については、増減表の書き方・作り方を参考にしてください。

f’(x)=3x²

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このグラフがx軸と交わる点は、x=0の1カ所のみです。これまで増減表を作ったいた関数は、x軸と交わる点が最低でも2つはあったので、「間違いなのかなー」と思うかもしれませんが、これでいいんです。では早速、増減表におとしていきましょう。

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f’(x)=3x²のグラフを見ると、x≦0、x≧0のどちらの範囲でもグラフは増加しているので
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f'(x)が常に+ということは、f(x)は常に増加するので
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こういう増減表がありえるんだということを頭に入れておきましょう。

ステップ2:グラフをかく

正直、今回の"f(x)=x³+3"のグラフは、"x=−2、−1、0、1、2…"をグラフに代入して算出した値を座標上にとり、それらの点を線で結べばかくことができるので、増減表を作る必要はありませんでした。が、いつ出題されても問題のないように、増減表はつねに書く習慣をつけておきましょう。


さて、このグラフをかいてみると、次のような形になります。
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グラフを見ると、f(x)の値が増加から減少へとシフトする点(または減少から増加へとシフトする点)がありません

ここで思い出しましょう。極値とは、f(x)の正負が変化するポイントのことでしたよね。今回のグラフのように、f(x)の正負が変化するポイントがない場合は、極値なしが答えとなります。


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・極大値・極小値のない3次関数のグラフ

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2013 数学Ⅱ 数研出版
2013 数学Ⅱ 東京書籍

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