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14_80 微分 / 微分:関数の増大と極大・極小

3次関数の極大値と極小値の求め方

著者名: ふぇるまー
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3次関数の極大値と極小値

ここでは、3次関数"f(x)=x³−3x²+4"を用いて、極大値極小値について説明をしていきます。極大値と極小値の説明にうつる前に、3次関数のグラフをかいていきます。

f(x)=x³−3x²+4のグラフ

増減表をうまく使うことで、3次関数や4次関数のグラフをかくことができます。"f(x)=x³−3x²+4"の増減表は次のようになります。

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この増減表をもとにf(x)=x³−3x²+4のグラフをかくと、次のようになります。

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増減表とグラフのかきかたがわからない人は、「増減表を使った3次関数のグラフの書き方」を参考にしてください。全く同じ数字を使った関数の、増減表とグラフのかきかたについて説明してあります。

さて、グラフがかけたらいよいよ極大値極小値について学んでいきます。

極大値と極小値

先ほど書いた増減表とグラフをみると、次の2つのことがわかります。

x=0のときにグラフは増加から減少へとシフトする。

もっと具体的にいうならば、点(0,4)を境目に、グラフは増加から減少へとシフトします。このとき、f(x)はx=0で極大になるといい、そのときのf(x)の値(すなわちf(0)=4)のことを、極大値といいます。


x=2のときにグラフは減少から増加へとシフトする。

もっと具体的にいうならば、点(2,0)を境目に、グラフは減少から増加へとシフトします。このとき、f(x)はx=2で極小になるといい、そのときのf(x)の値(すなわちf(2)=0)のことを、極小値といいます。


極大値も極小値も、グラフが増加から減少(または減少から増加)にシフトする点を指していることに注目しましょう。f'(x)の正負が変更するポイントが極大値、極小値であるとも言えます。



極大値と極小値をまとめて、極値ということもありますので覚えておきましょう。


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・3次関数の極大値と極小値の求め方

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2013 数学Ⅱ 東京書籍
2013 数学Ⅱ 数研出版

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