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14_80 微分 / 微分:関数の増大と極大・極小

増減表を作るのになぜ微分係数を用いるのか

著者名: ふぇるまー
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増減表とは

"y=f(x)"のグラフを書いたときに、xがどの値のときにyの値が増え始め、xがどの値のときにyの値が減り始めるのかを表した表のことを、増減表といいます。

そしてyの値が増え始める、または減り始める境目を調べる為に、この単元でこれまで学習してきた微分を使います。

さて、まず教科書通りに書いてみましょう。その後に、なぜそのような解き方をするのかを解説していきます。

"y=f(x)"というグラフの増減を調べると、次のことがいえます。

"f'(x)≦0"ならyの値は増える
"f'(x)=0"がyの増減の境目となる
"f'(x)≧0"ならyの値は減る


そもそもf'(x)は接線の傾きを表しています。が、なんでその値でグラフの増減がわかるのでしょうか。その答えを説明するために、"y=x²"のグラフを使って考えます。

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例えばグラフの点Aや点Bでの接線の傾きは負ですが、このときグラフのyの値は、xの値が大きくなればなるほど減っていきますね。一方で点Cや点Dでの接線の傾きは正で、このときのグラフのyの値は、xの値が大きくなればなるほど増えていきます。このように、グラフのyの値の増減と接線の傾きが正か負かは相関関係があります。

以上のことから増減表は、y=f(x)の接線の傾き"f'(x)"が、どのタイミングで正になって、どのタイミングで負になるのかを表したものといえます。


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・増減表を作るのになぜ微分係数を用いるのか

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2013 数学Ⅱ 東京書籍
2013 数学Ⅱ 数研出版

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