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14_80 微分 / 微分:接線

微分を使って接線の方程式を求める問題(接点の座標がわからない)

著者名: ふぇるまー
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微分を用いて接線を求める

ここでは、微分を用いて接線の方程式を求める問題の中でも、接点の座標がわかっていない場合について解説していきます。このテキストを読む前に、微分を使って接線の方程式を求める問題(接点の座標がわかっている)をしっかりと理解しておいてください。

点A(3、9)から"y=x²"に引いた接線の方程式を求めなさい。


ポイント

前回のテキストの問題と比較してみましょう。前回のテキストの問題は、

"y=x²"上の点(2、4)における接線の方程式を求めなさい。


でした。この2つの大きな違いは、接点の座標がわかっているかいないかです。今回の問題は接点の座標がわからない問題です。

接点の座標がわからない場合はどうすればよいのか。それは

自分で接点のx座標を"a"と決めちゃう


このことを頭に、問題を解いていきましょう。

解答

"y=x²"上の接点のx座標を"a"とすると、y座標は"(a、a²)"となります。この条件で、微分を使って接線の方程式を求める問題(接点の座標がわかっている)と同じように接線の方程式を求めていきます。

"y=x²"を微分すると"y=2x"なので、点"(a、a²)"を通る接線の傾きは、

2×a=2a

となります。つまり求める接線は、傾きが"2a"で(a、a²)で接する直線となります。

y−a²=2a(x−a)
y=2ax−2a²+a²
y=2ax−a²
 ー①

この直線が(3、9)を通るときのaの値は、

9=6a−a²
a²−6a+9=0
(a−3)²=0
a=3
 ー②

①に②を代入して

y=6x−9

これが、求める接線の方程式となります。

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・微分を使って接線の方程式を求める問題(接点の座標がわからない)

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2013 数学Ⅱ 東京書籍
2013 数学Ⅱ 東京書籍

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