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14_80 微分 / 微分係数と導関数

関数を微分して導関数を求める練習問題

著者名: ふぇるまー
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導関数を求める

関数"f(x)"を微分して導関数"f'(x)"を求める問題をみていきましょう。
この手の問題は、次のように出題されます。

次の関数を微分しなさい。

(1) f(x)=x²+4x−3
(2) f(x)=3x³−2x²+x+5
(3) f(x)=x²(x³+x²)


「関数f(x)を微分して導関数f'(x)を求めなさい」なんて丁寧には聞かれません。「関数を微分しなさい」と問われたら、導関数を求めるんだなと解釈しましょう。

(1) f(x)=x²+4x−3

簡単な導関数の求め方」でみたように、関数を微分するためには、

指数を前にもってきて、次数を1つ下げる


んでしたね。例えば"f(x)=x²"を微分すると、"f'(x)=2x"となるんでした。ここがわからない人は、簡単な導関数の求め方・例題を見てもう一度復習をしてから読み進めてください。

"f(x)=x²+4x−3"のように、項がいくつもある場合は、それぞれの項を微分します。今回であれば、"x²"、"4x"、"−3"をそれぞれ微分します。

"x²"を微分すると、"2x"
"4x"を微分すると、"4"
"−3"を微分すると、"0"(記号のついていない項を微分すると0になるんでしたね。)

以上から"f'(x)"は、

f'(x)=2x+4

となります。

(2) f(x)=3x³−2x²+x+5

続けていきましょう。解き方は(1)と同じです。

"3x³"、"2x²"、"x"、"5"をそれぞれ微分していきます。

"3x³"を微分すると、"9x²"
"2x²"を微分すると、"4x"
"x"を微分すると、"1"
"5"を微分すると、"0"

以上から"f'(x)"は、

f'(x)=9x²−4x+1


(3) f(x)=x²(x³+x²)

第3問です。このような場合はまず、式を展開してカッコをはずしてから考えます。

f(x)=x²(x³+x²)=x⁵+x⁴

あとは(1)、(2)と同じ解き方です。

"x⁵"を微分すると、"5x⁴"
"x⁴"を微分すると、"4x³"

以上から"f'(x)"は、

f'(x)=5x⁴+4x³


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・関数を微分して導関数を求める練習問題

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2013 数学Ⅱ 東京書籍
2013 数学Ⅱ 数研出版

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