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3_80 図形 / 1年:平面図形

垂直2等分線の応用~円を描く~

著者名: OKボーイ
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垂直2等分線の考えを用いて、次の問題を解いてみましょう。
三角形ABCのそれぞれの頂点を通る円を図示しなさい。

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問題をより簡単に表すと、「点A、点B、点Cを含む円を描きなさい」となります。
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適当に描くと上図のようになるのですが、この円を求めるには一体どうしたらよいでしょうか。
円の性質から考える

ここで円の性質について考えてみましょう。
円は、円の中心Oから同じ距離にある点の集合体のことです。
ということは、「OA=OB=OC」となるような点が、円の中心であることがわかります。(OA、OB、OCは円の半径にあたります。)
垂直2等分線から考える

ではまず、点Aと点Bから等距離にある点を探してみましょう。
2点から等距離にある点を探すためには、その2点を結んだ直線の垂直2等分線を求めればよかったですよね。垂直2等分線の描き方については各自復習をしておいてください。
今回の問題に当てはめると、次のようになります。
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点Aと点Bを結ぶ直線の垂直2等分線を①としましょう。
続いて点Bと点Cを結ぶ直線BCの垂直2等分線を求めます。
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点Bと点Cを結ぶ直線の垂直2等分線を②とします。
そして最後に、点Cと点Aを結ぶ直線CAの垂直2等分線です。
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点Cと点Aを結ぶ直線の垂直2等分線を③とします。
このとき①、②、③は 不思議と1つの点で交わります。この点をO’としたときに
O’はABの垂直2等分線①上の点であることから、O’A=O’B
O’はBCの垂直2等分線①上の点であることから、O’B=O’C
O’はCAの垂直2等分線①上の点であることから、O’C=O’A
すなわち、このO’こそが3点A、B、Cから等しい距離にある点だと言えます。

ここでもう1度問題に振り返ってみましょう。
問題は、「点A、点B、点Cを含む円を描きなさい」でしたので、このO’を中心にして「OA=OB=OC」が半径となる円を描けばいいということになります。

A、B、Cから等しい距離にある点を求めるのではなく、円を描くのが目的ですので、ケアレスミスをしないようにしましょう。せっかくここまでできたのにもったいないですからね。
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が答えとなります。
ちなみに今回は垂直2等分線を3本引きましたが、垂直2等分線を2本ひくだけで交点は求められます。
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『中学数学 自由自在』受験研究社

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