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3_80 図形 / 3年:円

垂直二等分線を使って円の中心をもとめる

著者名: OKボーイ
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垂直2等分線

次のような問題があったとしましょう。
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上の図において、円の中心Oを図示しなさい。

このような問題の場合には、垂直2等分線を用いて中心Oの位置を求めることができます。
垂直2等分線のおさらい

垂直2等分線とは、下図のように直線PQがあった場合に、その直線PQを2等分し、かつ直線PQと垂直に交わる直線のことを言います。
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円の性質を利用する

ここで焦点を変えて、円の性質について考えてみましょう。
円とは、円の中心Oから等距離にある点の集合です。ということは、中心Oから点A、B、C、Dへの距離は等しくなければいけません。(OA=OB=OC=OD=円の半径となります。)

つまりこの問題は、「 点A、点B、点C、点Dから等距離にある点を求なさい」と言っているのと同じなのです。
中心Oの求め方

ではまず、点A、点Bから等しい距離にある点を求めてみましょう。
先ほど示した垂直2等分線を使います。
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ABを垂直に2等分する線abは、上の図のようになります。
つまり、垂直2等分線の性質から、線ab上にある点は必ず点Aと点Bから同じ距離にあると言えます。

同じようにCDを垂直に2等分する線を考えてみましょう。
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CDを2等分し垂直に交わる線cdは図のようになります。
このcd上にある点は、つねに点Cと点Dから同じ距離にあることが同じように言えます。

ところで図をよく見てください。abとcdが交わる点が1箇所ありますよね?
この点を仮にO’としてみましょう。このO’は、ab上にありかつcd上にあります。ということは、このO’こそが点A、点B、点C、点Dから同じ距離にある点なのです。
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円の中心を図示する問題では、このようにA、B、C、Dという4つの点を円の軌道上にとり、その点を結んだ直線の垂直2等分線を求めることから円の中心Oを求めることができるのです。
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『教科書 新しい数学3』 東京書籍
『数学の世界 3年』大日本図書

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