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14_80 三角関数 / 三角関数

三角関数cos(θ−π/3)=−1/√2[角度の部分が複雑な方程式の計算問題]

著者名: ふぇるまー
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三角関数の方程式

ここでは、



のような、角度の部分が複雑な三角関数の方程式の解き方をみていきます。

問題

"0≦θ<2π"の範囲において、次の方程式を満たすθの値を求めなさい。


解法へのポイント

()の中が複雑な方程式が出題されたら、とにかく、()の中の角度をAと置き換えることを意識しましょう。




()の中の"θ−π/3"を、"θ−π/3=A"と置き換えて考えてみます。すると



とスッキリし、簡単そうに見えますよね。
なぜAと置き換えるかというと、計算を簡単にするためです。以前、因数分解の問題で、"x⁴-16"を因数分解するときに使った手法と同じです。

"x⁴-16"では計算が面倒くさそうなので、x²をAとして

x⁴-16
=A²−16
=(A+4)(A-4)
=(x²+4)(x²-4)
=(x²+4)(x+2)(x-2)

と解いたのを覚えていますか?
式を簡単に解くための工夫ですね。

解答



"0≦θ<2π"なのでAの範囲は

となります。この範囲で式を満たすAの値は、次の2つです。



Aの値が出たからといってここで安心してはいけません。
求めなければならないのはθの値です。



なので、



この2つの式を解くと、




が求める答えとなります。
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・三角関数cos(θ−π/3)=−1/√2[角度の部分が複雑な方程式の計算問題]

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2013 数学Ⅱ 東京書籍
2013 数学Ⅱ 数研出版

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