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14_80 三角関数 / 三角関数

三角関数sinθを含む不等式の基本問題

著者名: ふぇるまー
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三角関数の不等式

0≦θ<2πのとき、次の不等式を満たすθの範囲を求めなさい。


解答への近道

三角関数の不等式を解く前に、単位円上でsinθがどこの点を表すのかを復習しておきましょう。この話が理解できていれば、三角関数の不等式は簡単に解くことができます。

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図のように、半径1の単位円上に点(x,y)を設けます。
このとき、



この図において、sinθはy軸の値を表していることがわかります。
つまり



ということは、y座標の値が"√3/2"よりも小さくなるθの範囲を求めなさいということと同じ意味であることを理解しましょう。

解答

まず、与えられた不等式を方程式と考えて、式を満たすθの値を求めます。



としたとき、この式を満たすθの値は、




次に、求めた点を図に描きます。
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ここで注意したいのは、図に赤文字で書いてある点です。



の不等式では、"<"(イコールを含まない)ので、点を白抜きの○にします。これが"≦"(イコールを含む)のときは、点を●にします。



なので、"y=√3/2"よりも小さくなるθの値を求めます。

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斜線をひいた部分が、条件を満たす箇所です。
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この範囲を式で表すと、




これが答えです。
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2013 数学Ⅱ 数研出版
2013 数学Ⅱ 東京書籍

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