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14_80 円 / 不等式の表す領域

不等式の領域を利用した証明問題

著者名: ふぇるまー
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不等式の領域を利用した証明問題

不等式の領域の考えを用いて証明をするという問題もあります。

次のことを証明しなさい。
"x²+y²<1"ならば"x²+y²−2y−8<0"


領域を利用した証明問題は次のように解きます。

P:"x²+y²<1"
Q:"x²+y²−2y−8<0"

とするとこの問題は、「Pの範囲はQの範囲に含まれるかを証明しなさい」ということをきいています。ですのでまずは、2つの不等式を図示するところから始めましょう。

"x²+y²<1"の表す領域

"x²+y²<1"の表す領域は次の青色がかかった部分です。

ALT


"x²+y²−2y−8<0"の表す領域

先ほどの図に、"x²+y²−2y−8<0"の表す領域を重ねてみます。
"x²+y²−2y−8=0"を変形すると、"x²+(y−1)²=3²"なので、下図のグレーの部分が"x²+y²−2y−8<0"の表す領域です。

ALT


この図を見るとPはQに含まれていることがわかりますね。よって「"x²+y²<1"ならば"x²+y²−2y−8<0"」であると言えます。

不等式を図示するだけで証明ができる



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2013 数学Ⅱ 東京書籍
2013 数学Ⅱ 数研出版

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