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14_80 円 / 円:軌跡の方程式

点の軌跡を求める問題が簡単に解ける解法テクニック

著者名: ふぇるまー
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点の軌跡を求めるには手順が決まっている

2点A(0,2)とB(0,−2)に対して"AP²:BP²=3:1"を満たす点Pの軌跡を求めてみましょう。


点の軌跡を求める問題で目にする形ですね。
この手の問題が苦手な人は特に注目です。点の軌跡を求める問題は、これから説明する順番で解いていけば、必ず答えを求めることができます。

ステップ1

点Pの座標を(x、y)とする

言葉通りで、点Pの座標を(x、y)とします。

ステップ2

点A、B、Pがどのような関係にあるのか式をたてる。

今回の問題では、点A、B、Pの関係が式で与えられています。

"AP²:BP²=3:1"

これを変形して、

"AP²=3BP²" ー①

としておきましょう。

ステップ3

与えられた条件を①に当てはめる

点Aと点Bの座標は問題文で与えられています。そして先ほど、点Pの座標は(x,y)としました。このことからAPとBPの長さを求めることができますね。


座標上の2点間の距離を求める公式より

AP²=(x−0)²+(y−2)²=x²+(y−2)²
BP²=(x−0)²+(y+2)²=x²+(y+2)²

これを①に代入しましょう。

x²+(y−2)²=3{x²+(y+2)²}

ステップ4

作った式を整理したものが求める軌跡の方程式

x²+(y−2)²=3{x²+(y+2)²}

あとはこの式を整理するだけで、点の軌跡が求まります。

x²+y²−4y+4=3x²+3(y²+4y+4)
x²+y²−4y+4=3x²+3y²+12y+12
2x²+2y²+16y+8=0
x²+y²+8y+4=0
x²+y²+8y+16−16+4=0
x²+(y+4)²=12
x²+(y+4)²=(2√3)²

つまりこの点の軌跡は、(0,−4)を中心とする半径2√3の円となります。


ステップ5

逆もまた正しいことを証明する

軌跡がわかったところで、"x²+(y+4)²=(2√3)²"上の点Pが本当に"AP:BP=3:1"となる点なのかを証明しなければなりません。しかし、このステップは省略することが可能です。問題文での指示がない限り、次のように書いておけば点数がもらえますので、ここは楽をしちゃいましょう。

逆に"x²+(y+4)²=(2√3)²"上の点P(x、y)は条件を満たす


以上から、条件を満たす点Pの軌跡は「(0,−4)を中心とする半径2√3の円」

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2013 数学Ⅱ 数研出版
2013 数学Ⅱ 東京書籍

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