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14_80 円 / 円:軌跡の方程式

2つの点から等距離にある点の軌跡の求め方

著者名: ふぇるまー
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2つの点から等距離にある点の軌跡

点A(2,0)とB(0,4)から等距離にある点Pの軌跡を求めてみましょう。


実は、点の軌跡を求めるには手順が決まっています。
その手順に従って解いていけば、必ず軌跡は求めることができます。

ステップ1

点Pの座標を(x、y)とする

言葉通りで、点Pの座標を(x、y)とします。

ステップ2

点A、B、Pがどのような関係にあるのか式をたてる。

次に、点A、B、Pがどのような関係にあるのかを考えます。
「点Pは点Aと点Bから等しい距離にある」ので、

AP=BP ー①

という式がたてられますね。

ステップ3

与えられた条件を①に当てはめる

点Aと点Bの座標は与えられています。そして点Pの座標は(x,y)としました。このことからAPとBPの長さを求めることができますね。


座標上の2点間の距離を求める公式より

AP²=(x−2)²+(y−0)²=(x−2)²+y²
BP²=(0−x)²+(4−y)²=x²+(4−y)²

①よりAP²=BP²もまた成り立つので、

(x−2)²+y²=x²+(4−y)²

ステップ4

作った式を整理したものが求める軌跡の方程式

(x−2)²+y²=x²+(4−y)²
x²−4x+4+y²=x²+16−8y+y²
4x−8y+12=0
x−2y+3=0 ー②

"x−2y+3=0"が答えです。

ステップ5

逆もまた正しいことを証明する

②上に任意の点をとって、その点がAとBから等距離にあることが証明できれば、②上の点はAとBから等距離にある点の軌跡であると断定できます。

②上の点を{t,(t+3)/2}とします。
※②にx=tを代入してyの値をだしています。


先ほどの計算より
・"AP²=(x−2)²+y²"
・"BP²=x²+(4−y)²"
なので、これらに{t,(t+3)/2}を代入します。














以上から"AP²=BP²"であることがわかりました。
AP>0かつBP>0なので、"AP²=BP²"ということは"AP=BP"でもありますね。
つまり、"x−2y+3=0"上の点Pは、AとBから等しい距離にあることがわかります。

このステップ5は、当たり前のことなので、省略して次のように書いても大丈夫です。ただし、問題文にきちんとステップ5のところも書きなさいとあれば、きちんと書くようにしましょう。

ステップ5
「逆に③上の任意の点P(x、y)は条件を満たす。」




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2013 数学Ⅱ 数研出版
2013 数学Ⅱ 東京書籍

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