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14_80 円 / 円と直線の関係

点A(a,b)を通り円x²+y²=r²に接する直線の方程式の求め方

著者名: ふぇるまー
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接線の方程式

点A(a,b)を通り、円"x²+y²=r²"に接する直線


とはどういうことか、図にかいてみます。
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こういうことですね。具体的に問題を解きながら、接線の方程式を求める方法を学んでいきましょう。

点A(3,1)を通り、円"x²+y²=5"に接する直線の方程式を求めなさい


与えられた条件で図をかくと次のようになります。
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接点の座標をP(x₁,y₁)とすると、直線の方程式は公式より、

"x₁x+y₁y=5" ー①

この直線が点P(3,1)を通るので、①にx=3、y=1を代入して

3x₁+y₁=5
y₁=−3x₁+5 ー②


また、P(x₁,y₁)は円"x²+y²=5"上の点なので

"x₁²+y₁²=5" ー③

②を③に代入します。

x₁²+(−3x₁+5)²=5
x₁²+9x₁²−30x₁+25=5
10x₁²−30x₁+20=0
x₁²−3x₁+2=0
(x₁−1)(x₁−2)=0

x₁=1、2

x₁=1のとき

②にx₁=1を代入して、y₁=2

①に"x₁=1、y₁=2"を代入すると

x+2y=5

x₁=2のとき

②にx₁=2を代入して、y₁=−1

①に"x₁=2、y₁=−1"を代入すると

2x−y=5


この2つが条件を満たす接線の方程式です。

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2013 数学Ⅱ 東京書籍
2013 数学Ⅱ 数研出版

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