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14_80 円 / 円と直線の関係

円に接する直線(接線)の方程式を求める公式

著者名: ふぇるまー
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円に接する直線の方程式

円に接する直線とはどのようなものか、まずは図にかいてみます。

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"x²+y²=r²"と接する接線lの方程式を求めてみましょう。円と接線は点P(x₁,y₁)で交わるとします。(点Pは座標軸上の点ではないとします。)



<ポイント>

OPとlは垂直に交わるので、OPの傾きとlの傾きをかけると−1になることに注目する。

求め方

OPの傾きは、



なので、直線lの傾きをmとしたとき、座標上の2つの直線が垂直に交わるための条件・公式より





そして直線lは点P(x₁,y₁)を通ることから、方程式は、



これを整理していきます。両辺にy₁をかけると

y₁y−y₁²=−x₁x+x₁²

x₁x+y₁y=x₁²+y₁² ー①


ここで視点をかえましょう。
点P(x₁,y₁)は"x²+y²=r²"上の点なので

x₁²+y₁²=r²" ー②

②を①に代入すると、

"x₁x+y₁y=r²"

これが円に接する直線の方程式です。

"x²+y²=r²"と点P(x₁,y₁)で接する接線の方程式は、
"x₁x+y₁y=r²"


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・円に接する直線(接線)の方程式を求める公式

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2013 数学Ⅱ 数研出版
2013 数学Ⅱ 東京書籍

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