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14_80 円 / 円と直線の関係

円と直線の共有点の個数を調べる方法

著者名: ふぇるまー
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円と直線の共有点の個数

円と直線の共有点の座標を求める問題では、円と直線の共有点の座標の求め方について確認をしました。ここでは、円と直線の共有点の個数の求め方についてみていきましょう。

問題

円:"x²+y²=25" ー①
直線"x−y+1=0" ー②
の共有点の個数を求めてみましょう。


ステップ1

<2つの式を連立させてyを消去する>

②を変形すると"y=x+1"。これを①に代入します。

x²+(x+1)²=25
x²+x²+2x+1=25
2x²+2x−24=0
x²+x−12=0  ー③

ステップ2

<③式の判別式Dの値を求める>

判別式覚えていますか?
"ax²+bx+c=0"という式があったとき、その判別式は"D=b²−4ac"でしたね。

③の判別式は

D=1²−4・1・(−12)=1+48=49

ステップ3

<判別式が0より大きいか、小さいかを調べる>

判別式の値の大きさで、共有点の個数がわかります。

判別式の値D>0D=0D<0
共有点の数2個1個共有点なし


③の判別式は、"D=49>0"なので、共有点は2個となります。
実際に①と②の共有点の座標を調べてみても、(3,4)と(−4,−3)で交わることがわかりますね。

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2013 数学Ⅱ 東京書籍
2013 数学Ⅱ 数研出版

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