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14_80 円 / 円の方程式

円の方程式"x²+y²+lx+my+n=0"が表す図形

著者名: ふぇるまー
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"x²+y²+lx+my+n=0"が表す図形

"x²+y²−4x−2y+1=0"がどのような図形を表すか考えてみましょう


"x²+y²−4x−2y+1=0"を変形すると

x²+y²−4x−2y+1=0
"x²−4x+4−4+y²−2y+1−1+1=0"

平方の形が作れるように、赤の部分を式に追加します。
すると

(x−2)²+(y−1)²−4=0
(x−2)²+(y−1)²=2²

つまり"x²+y²−4x−2y+1=0"は、点(2、1)を中心とする半径2の円だとわかります。このように"x²+y²+lx+my+n=0"の形をした方程式は、変形して"(x−a)²+(y−b)²=r²"とすることで、どのような図形を表すかを調べることができます。

練習問題

次の方程式がどのような図形を表すか答えなさい。
(1) x²+y²+2x−6y−6=0
(2) x²+y²+2x−6y+10=0


(1) x²+y²+2x−6y−6=0

"x²+y²+2x−6y−6=0"を平方を含む形に変形します。

x²+y²+2x−6y−6=0
x²+2x+1−1+y²−6y+9−9−6=0
(x+1)²+(y−3)²−16=0
(x+1)²+(y−3)²=4²

以上から"x²+y²+2x−6y−6=0"は点(−1,3)を中心とする半径4の円

(2) x²+y²+2x−6y+10=0

"x²+y²+2x−6y+10=0"を平方を含む形に変形します。

x²+y²+2x−6y+10=0
x²+2x+1−1+y²−6y+9−9+10=0
(x+1)²+(y−3)²=0

あれ、半径が0となってしまいました。
このような場合は、中心の点の値をみて、点(−1,3)を表すとします。


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2013 数学Ⅱ 東京書籍
2013 数学Ⅱ 数研出版

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