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14_80 円 / 円の方程式

[基本]円の方程式

著者名: ふぇるまー
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円の方程式

この単元では、円(だ円は含まない)について考えていきます。
まず基本となる円の方程式についてみていきましょう。

点(1,1)を中心とする半径2の円の方程式


円の方程式では、このような表現がされます。
直線の方程式の基本形が"ax+by+c=0"であるように、円の方程式にも基本形があるので、まずはそれをおさえましょう。

点(a,b)を中心とし、半径がrの円の方程式は
(x−a)²+(y−b)²=r²


先ほどの「点(1,1)を中心とする半径2の円」を方程式で表すと

(x−1)²+(y−1)²=4

となります。
では、原点(0,0)を中心とし、半径が2の円の方程式はどうなるでしょうか。

これも基本形に値を代入するだけで求めることができます。
"(x−0)²+(y−0)²=2²"つまり、x²+y²=4となります。

練習問題

次の円の方程式を求めなさい。
(1) (2、3)を中心とし、半径が1の円
(2) (1,0)を中心とし、(0、√3)を通る円
(3) (−1,0)と(3,0)を直径の両端とする円


(1) (2、3)を中心とし、半径が1の円

これは与えられた値を基本の式"(x−a)²+(y−b)²=r²"に代入するだけで求まります。
a=2、b=3、r=1なので

(x−2)²+(y−3)²=1

(2) (1,0)を中心とし、(0、√3)を通る円

半径が与えられていませんね。このようなときは自分で求めなくてはいけません。
まず、与えられた条件で図をかいてみましょう。

ALT


図を見れば一目瞭然ですが、(1,0)と(0,√3)の距離が円の半径であることがわかりますね。半径をrとすると、

r²=(1−0)²+(0−√3)²=1+3=4

半径の長さがわかったので、あとは「(1,0)を中心とし半径が2の円」として方程式を求めます。

"(x−1)²+(y−0)²=4"つまり"(x−1)²+y²=4"

(3) (−1,0)と(3,0)を直径の両端とする円

この問題では半径どころか円の中心も与えられていません。
このような場合でもまずは図をかいてみましょう。

ALT


2点を結んだ線が円の直径であることがわかりますね。つまりこの2点の中心が円の中心、そしてこの直径の半分の長さが円の半径となります。

円の中心の座標は



そして(1,0)から(3,0)までの距離rは、

r²=(3−1)²+(0−0)²=4

以上からこの円は、(1,0)を中心とする半径が2の円であることがわかりました。これを方程式にすると

"(x−1)²+(y−0)²=4"つまり"(x−1)²+y²=4"

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2013 数学Ⅱ 東京書籍
2013 数学Ⅱ 数研出版

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