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14_80 点と直線 / 点と直線の距離

点と直線の距離を求める公式とその証明

著者名: ふぇるまー
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点と直線の距離を求める公式

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まず「点と直線の距離」ときいて、何を思い浮かべますか?
図のような点Pと直線lの距離を求める方法についてみていきましょう。

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図のように、直線l:"ax+by+c=0"上にない点P(x₁,y₁)をとります。点Pから直線lに垂線をおろし、その交点をQ(x₂,y₂)とします。点Pと直線lの距離とは、基本的にこのPQの距離のことを指すので覚えておきましょう。
これには公式があるので、まずはそれを紹介します。

点P(x₁,y₁)と直線l:"ax+bx+c=0"の距離をdとしたとき


ではこの公式を証明しましょう。

公式の証明

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PQとlは垂直に交わる

PQと直線lは垂直に交わることから、2つの直線が垂直に交わるための条件より、2直線の傾きの積が"−1"であることに注目をします。

PQの傾きは


lの傾きは"ax+by+c=0"を変形して"-a/b"






ですが、計算をしやすくするために



とおきます。すると

x₂−x₁=am ー①
y₂−y₁=bm ー②

と表すことができますね。

Qは直線l上の点

次に、点Q(x₂,y₂)は直線l上の点であることから

"ax₂+by₂+c=0"


先ほどの①と②を変形させると"x₂=am+x₁、y₂=bm+y₁"なのでこれを代入すると

a(am+x₁)+b(bm+y₁)+c=0

a²m+ax₁+b²m+by₁+c=0

m(a²+b²)+ax₁+by₁+c=0

m(a²+b²)=−(ax₁+by₁+c)

 ー③

PHの長さを求める

次にPHの長さを求めていきます。PHの長さをdとしたとき、2点間の距離を求める公式より





①と②より

d²=(am)²+(bm)²=a²m²+b²m²=m²(a²+b²)

これに③を代入します。







d>0より



公式を求めることができました。
最後の絶対値のところがわからない人は、絶対値の性質を見直してみましょう。"|x|²=x² "の性質を用いて計算をすすめています。
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・点と直線の距離を求める公式とその証明

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2013 数学Ⅱ 数研出版
2013 数学Ⅱ 東京書籍

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