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14_80 点と直線 / 点と直線の距離

直線に関して対称な点の座標を求める問題

著者名: ふぇるまー
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直線に関して対称な点

この単元の最初で、点に関して対称な点の座標を求める問題についてみたかと思います。ここでは点に関して対称な点ではなく、直線に関して対称な点の座標の求め方についてみていきまうs。

直線に関して対称な点とは、次の図のような関係のことです。

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図のように、直線lに関して点Aと点Bが対称であるための条件は

ABとlが垂直に交わる
ABとlが交わる点PがABの中点である

図に今の条件をかき加えると

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これらを利用して、次の問題を解いてみましょう。

練習問題

直線"4x−2y+3=0"に関して、点A(−2、4)と対称な点Bの座標を求めなさい


まず"4x−2y+3=0"と点"A(−2、4)"を図示してみます。点Bの座標はわからないので、B(a、b)とします。

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PはABの中点

ABとlの交点P(p,q)は、ABの中点です。中点ということは、点PはABを1:1に内分する点ということですから、内分点の座標を求める公式より




点Pは直線l上の点でもあるので、この値を"4x−2y+3=0"に代入して



2(a−2)−(b+4)+3=0
2a−4−b−4+3=0
2a−b=5 ー①

ABとlは垂直に交わる

次に、ABと直線lは垂直に交わることから、2つの直線が垂直に交わるための条件より、2直線の傾きの積が"−1"であることに注目をします。

ABの傾きは



また、lの傾きは"2"なので



2(b−4)=−(a+2)
2b−8=−a−2
a+2b=6 ー②



求めた①と②を連立させてaとbの値を求めます。






が求める点の座標となります。

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2013 数学Ⅱ 東京書籍

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