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14_80 点と直線 / 垂直/平行な2直線

2直線の平行と垂直[座標上で直線に平行な直線・垂直に交わる直線の方程式を求める問題]

著者名: ふぇるまー
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Ⅱ直線の平行と垂直

2直線"y=mx+n"と"y=m'x+n'"が平行である条件は
"m=m'"


2直線"y=mx+n"と"y=m'x+n'"が垂直に交わる条件は
"mm'=-1"


この2つの条件を使った練習問題をみてみましょう。

練習問題

(1,3)を通り、4x+2y−5=0に平行な直線の方程式、また垂直に交わる直線の方程式を求めなさい。


平行な直線の方程式

まず、与えられた直線の方程式を、"y=ax+b"の形に変形して傾きを求めましょう。

4x+2y−5=0
2y=−4x+5



この直線の傾きは"−2"ですね。


次に、"4x+2y−5=0"と平行な直線を"y=mx+n"とします。
この直線が"4x+2y−5=0"と平行であるためには、2直線の傾きの値が等しくなければいけません。

つまり"m=−2"となり、このことから求める直線は、

"y=−2x+n"

となります。
題意よりこの直線は(1,3)を通るので"x=1、y=3"を代入すると

3=−2+n
n=5


以上から、"y=−2x+5"が求める式となります。
変形して"2x+y−5=0"としてもOKです。


垂直に交わる直線の方程式

次に、"4x+2y−5=0"と垂直に交わる直線を"y=m'x+n'"とします。
この直線が"4x+2y−5=0"と垂直に交わるあるためには、2直線の傾きの積が−1でなければいけません。

−2×m'=−1


このことから、求める直線の方程式は



となります。
題意よりこの直線は(1,3)を通るので"x=1、y=3"を代入すると





以上から、



が求める式となります。
変形して、"x−2y+5=0"としてもOKです。

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・2直線の平行と垂直[座標上で直線に平行な直線・垂直に交わる直線の方程式を求める問題]

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2013 数学Ⅱ 東京書籍
2013 数学Ⅱ 数研出版

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