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14_80 点と直線 / 垂直/平行な2直線

座標上の2つの直線が垂直に交わるための条件・公式

著者名: ふぇるまー
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2つの直線が垂直に交わるための条件

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・y=mx+n -①
・y=m'x+n' -②

この2つの直線が、座標上で垂直に交わるための条件をみてみましょう。
まず、①と②をそれぞれ平行移動させて、原点を通る直線にします。①と②が垂直に交わるということは、それぞれを平行移動させたあとの直線もまた垂直に交わりますね。

平行移動させたあとの2直線は、"y=mx"、"y=m'x"となることを理解しておきましょう。

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次に、図のようにx=1の直線をひき、"y=mx"と"y=m'x"との交点を、それぞれA(1,m)、B(1,m')とします。

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このとき、△ AOBは直角三角形なので、三平方の定理をあてはめます。各辺の長さは、座標上の2点間の距離を求める公式より

AO²=(1-0)²+(m-0)²=1+m²
BO²=(1-0)²+(m'-0)²=1+m'²
AB²=(1-1)²+(m-m')²=(m-m')²

※(m+m')としないように気をつけましょう。

"AB²=AO²+BO²"より

(m-m')²=1+m²+1+m'²

m²-2mm'+m'²=2+m²+m'²

-2mm'=2

mm'=-1


つまり、"mm'=-1"のとき、"y=mx"と"y=m'x"は垂直に交わることになります。
"y=mx"と"y=m'x"は垂直に交わるということは、それぞれを平行移動した直線である①と②もまた、垂直に交わるということになりますね。

2直線"y=mx+n"と"y=m'x+n'"が垂直に交わる条件は
"mm'=-1"


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・座標上の2つの直線が垂直に交わるための条件・公式

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2013 数学Ⅱ 東京書籍
2013 数学Ⅱ 数研出版

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