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14_80 点と直線 / 内分点/外分点

座標上の外分点を求める公式とその証明

著者名: ふぇるまー
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座標上の外分点

数直線上の外分点が理解できたら次は、座標上の外分点を求める方法をみていきます。
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上図のようなA(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)を結んでできた線分ABを"m:n"に外分する点をQ(x、y)としたとき、その座標は次のように表すことができる。




公式の証明

x座標

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まずx座標を求める式から導いていきます。
図のように、直角三角形AQRを作ります。また、BからARに垂線をおろし、その交点をCとします。このとき、BC//QRなので、

"AQ:QB=AR:RC=m:n" ー①

さらに、点A、B、Qからx軸に垂線をおろし、それぞれの交点を「A'、B'、Q'」とします。このとき、「AR=A'Q'、RC=Q'B'」なので、①より

A'Q':Q'B'=m:n

であることがわかりました。
AとA'のx座標、BとB'のx座標、QとQ'のx座標は同じであることから、A'B'をm:nに外分する点Q'のx座標は、線分ABをm:nに外分する点Qのx座標と等しくなります

A'B'をm:nに外分する点Q'のx座標は、数直線上の外分点を求める方法で求められますね。



y座標

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続いてy座標を求める式を導いていきます。
今度は点A、B、Qからy軸に垂線をおろし、それぞれの交点を「A"、B"、Q"」とします。
x軸のときと同様に考えると、「A"Q":Q"B"=m:n」となります。

AとA"のy座標、BとB"のy座標、QとQ"のy座標は同じであることから、A"B"をm:nに外分する点Q"のy座標は、線分ABをm:nに外分する点Qのy座標と等しくなります

A"B"をm:nに外分する点Q"のy座標は、数直線上の外分点を求める方法で求められますね。



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・座標上の外分点を求める公式とその証明

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2013 数学Ⅱ 東京書籍
2013 数学Ⅱ 数研出版

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