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14_80 点と直線 / 内分点/外分点

座標上の内分点を求める公式とその証明

著者名: ふぇるまー
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座標上の内分点

数直線上の内分点が理解できたら次は、座標上の内分点を求める方法をみていきます。
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上図のようなA(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)を結んでできた線分ABを"m:n"に内分する点をP(x、y)としたとき、その座標は次のように表すことができる。




公式の証明

x座標

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まずx座標を求める式から導いていきます。
図のように、直角三角形ABCを作ります。また、PからACに垂線をおろし、その交点をQとします。このとき、PQ//BCなので、

"AP:PB=AQ:QC=m:n" ー①

さらに、点A、P、Bからx軸に垂線をおろし、それぞれの交点を「A'、P'、B'」とします。このとき、「AQ=A'P'、QC=P'B'」なので、①より

A'P':P'B'=m:n

であることがわかりました。
AとA'のx座標、PとP'のx座標、BとB'のx座標は同じであることから、A'B'をm:nに内分する点P'のx座標は、線分ABをm:nに内分する点Pのx座標と等しくなります

A'B'をm:nに内分する点P'のx座標は、数直線上の内分点を求める方法で求められますね。



y座標

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続いてy座標を求める式を導いていきます。
今度は点A、P、Bからy軸に垂線をおろし、それぞれの交点を「A"、P"、B"」とします。
x軸のときと同様に考えると、「A"P":P"B"=m:n」となります。

AとA"のy座標、PとP"のy座標、BとB"のy座標は同じであることから、A"B"をm:nに内分する点P"のy座標は、線分ABをm:nに内分する点Pのy座標と等しくなります

A"B"をm:nに内分する点P"のy座標は、数直線上の内分点を求める方法で求められますね。



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・座標上の内分点を求める公式とその証明

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2013 数学Ⅱ 数研出版
2013 数学Ⅱ 東京書籍

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