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14_80 点と直線 / 内分点/外分点

外分点の公式とその証明[数直線上]

著者名: ふぇるまー
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外分点とは

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mとnを異なる正の数とします。
図のように、線分ABの外に点Qがあり、"AQ:QB=m:n"となるとき、

点Qは、線分ABをm:nに外分する


といいます。そして点Qのことを、内外分点といいます。

外分点の座標を求める公式

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数直線上の2つの点を、"A(a)、B(b)"とし、ABを"m:n"に外分する点を"Q(x)"としたとき、xの値を求める公式があります。



例えば、A(1)、B(5)で、線分ABを3:1に外分する点をQ(x)とすると、



"x=7"となります。実際に数直線をかいてみると

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AQの長さは、7−1=6
BQの長さは、7−5=2

"AQ:QB=6:2=3:1"となりますね。

公式の証明

では、この公式の証明をしていきましょう。



公式の証明には、次の2パターンを考えていきます。

・BがAよりも大きい場合(a<b)
・AがBよりも大きい場合(a>b)

BがAよりも大きい場合(a<b)

"a<b"ということは、数直線上の点"A、B、Q"の位置関係は図のようになります。

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AQの長さは、AQ=x−a
QBの長さは、QB=x−b

AQ:QB=m:nなので、

x−a:x−b=m:n
n(x−a)=m(x−b)
nx−na=mx−mb
mx−nx=−na+mb
x(m−n)=−na+mb



AがBよりも大きい場合(a>b)

"a>b"ということは、数直線上の点"A、B、Q"の位置関係は図のようになります。

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AQの長さは、AQ=a−x
QBの長さは、QB=b−x

AQ:QB=m:nなので、

a−x:b−x=m:n
n(a−x)=m(b−x)
na−nx=mb−mx
mx−nx=−na+mb
x(m−n)=−na+mb




ちなみに外分点では、m=nとなることはありません。

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・外分点の公式とその証明[数直線上]

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2013 数学Ⅱ 数研出版
2013 数学Ⅱ 東京書籍

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