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14_80 点と直線 / 内分点/外分点

内分点の公式とその証明[数直線上]

著者名: ふぇるまー
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内分点とは

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mとnを異なる正の数とします。
図のように、線分AB上に点Pがあり、"AP:PB=m:n"となるとき、

点Pは、線分ABをm:nに内分する


といいます。そして点Pのことを、内分点といいます。

内分点の座標を求める公式

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数直線上の2つの点を、"A(a)、B(b)"とし、ABを"m:n"に内分する点を"P(x)"としたとき、xの値を求める公式があります。



例えば、A(1)、B(6)で、線分ABを1:4に内分する点をP(x)とすると、



"x=5"となります。実際に数直線をかいてみると

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APの長さは、2−1=1
BPの長さは、6−2=4

"AP:PB=1:4"となりますね。

公式の証明

では、この公式の証明をしていきましょう。



公式の証明には、次の2パターンを考えていきます。

・BがAよりも大きい場合(a<b)
・AがBよりも大きい場合(a>b)

BがAよりも大きい場合(a<b)

"a<b"ということは、数直線上の点"A、B、P"の位置関係は図のようになります。
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APの長さは、AP=x−a
PBの長さは、PB=b−x

AP:PB=m:nなので、

x−a:b−x=m:n
n(x−a)=m(b−x)
nx−na=mb−mx
mx+nx=na+mb
x(m+n)=na+mb



AがBよりも大きい場合(a>b)

"a>b"ということは、数直線上の点"A、B、P"の位置関係は図のようになります。
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APの長さは、AP=a−x
PBの長さは、PB=x−b

AP:PB=m:nなので、

a−x:x−b=m:n
n(a−x)=m(x−b)
na−nx=mx−mb
mx+nx=na+mb
x(m+n)=na+mb



中点の座標



において"m=n"つまり"m:n=1:1"のとき、点Pは線分ABを1:1に2分する点となるので、線分ABの中点といえます。このときの点Pの座標は(m=n=1を代入して)



で求めることができます。

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・内分点の公式とその証明[数直線上]

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2013 数学Ⅱ 数研出版
2013 数学Ⅱ 東京書籍

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